MPL — предельный продукт труда (marginal product of labor)+
MPK — предельный продукт капитала (marginal product of сapital)+
MRPL — предельный денежный продукт труда (marginal revenue product of labor)+
w — цена труда (wage)+
v — цена капитала+
МRTS — предельная норма технического замещения факторов производства (marginal rate of technical substitution)+
Алгоритм определения функции издержек при заданной производственной функции+
Пусть TC=w*L+v*K. Обратите внимание на то, что совокупные издержки есть функция от количества используемого труда и количества используемого капитала при заданных параметрах цены труда (w) и цены капитала (v).
Наша цель задать функцию издержек от объема выпуска фирмы TC(Q)=F(Q, w, v). Зная производственную функцию Q=F(L, K), определяем частную производную производственной функции по труду MPL=∂Q/∂L
Определяем частную производную производственной функции по капиталу MPK=∂K/∂L
Предельная отдача от каждого рубля, размещенного в производственный фактор, должна быть одинаковой: (MPL)/w=(MPK)/v
Из равенства в пункте 4 выражаем капитал K как функцию от труда L: K=FF(L, w, v)
Подставляем выражение, полученное в пункте 5, в производственную функцию Q=F(L, K) и получаем зависимость объема выпуска от одной переменной – L.
Находим обратную функцию, т.е. выражаем L как функцию от Q: LD=F(Q, v, w)
Из равенства в пункте 4 выражаем труд L как функцию от капитала K: L=F(K, w, v) и проделываем те же действия, но уже по отношению к капиталу, получая в результате KD=FFF(Q, v, w)
Подставляем результаты полученные в пункте 5 и 8 в функцию издержек: TC=w*L+v*K=w*FF(Q, w, v)+v*FFF(Q, w, v). По возможности упрощаем и получаем функцию совокупных издержек.
Задача #1+
Предположим, что производственная функция задана как Q(L, K, Z)=Lα*Kβ*Zγ+
А) Чему равен предельный продукт фактора L?+
Б) Чему равна норма технического замещения факторов?+
В) Чему равна отдача от масштаба, если α+β+γ>0?+
Решение #1+
А) MPL=(α*Kβ*Zγ)/L1-α+
Б) Для нахождения нормы предельного технического замещения нужно найти значения предельного продукта каждого фактора и потом рассматривать отношения предельных продуктов каждого фактора+
В) Если α+β+γ>1, то возрастающая отдача от масштаба; если α+β+γ<1, то убывающая отдача от масштаба; если α+β+γ=1, то постоянная отдача от масштаба;+
Задача #2+
Производственная функция задана как Q(L, K)=(Lα+Kα)β, где α и β положительные константы. При каких значения констант производственная функция будет характеризоваться возрастающей отдачей от масштаба, при каких убывающей, а при каких постоянной?+
Решение #2+
Условие возрастающей отдачи от масштаба: ((n*L)α+(n*K)α)β>n*(Lα+Kα)β, где n>1+
Задача #3+
Характеризуются ли следующие производственные функции убывающей, постоянной или возрастающей отдачей от масштаба? Здесь q – объем производства, зависящий от величины используемого капитала K и труда L. Объясните ответ.+
А) q=0.5√(KL).+
Б) q=0.1KL+K2/3L1/3.+
В) q=2(KL)1/2+3(KL)1/3.+
Г) q=aK+bL.+
Ответ #3+
А) Постоянная отдача от масштаба;+
Б) Возрастающая отдача от масштаба;+
В) Убывающая отдача от масштаба;+
Г) Постоянная отдача от масштаба.+
Задача #4+
Производственная функция фирмы имеет вид Q=L0.25K0.75.+
А) Как будет выглядеть функция совокупных издержек (TC) в краткосрочном периоде, если w – цена единицы труда и v – цена единицы капитала, и объем капитала фиксирован?+
Б) Как будет выглядеть функция совокупных издержек (ТС) в долгосрочном периоде времени, когда все факторы переменны?+
В) Объясните соотношения между долгосрочными и краткосрочными кривыми средних издержек и предельных издержек.+
Решение #4+
А) TC=((w*Q4)/K3)+v*K;+
Б) K=3*L; TC=w*L+v*K=Q*((w/30.75)+v*30.25)+
В) Кривая краткосрочных издержек всегда выше кривой долгосрочных издержек+
Задача #5+
А) Производственная функция задана как Q=L2/3+K2/3. Заработная плата (w) равна 25, цена капитала (v) равна 5. Определите комбинацию труда-капитала, позволяющую минимизировать издержки для производства 2600 единиц продукции.+
А) Чему будут равны совокупные издержки?+
Б) Каким будет решение задачи, если производственная функция задана как Q=L2/3*K2/3+
Решение #5+
А) Нужно использовать только капитал, как цена капитала дешевле, а труд и капитал в этом случае являются абсолютными субститутами K=2600(3/2)=132574.5; совокупные издержки составят TC=K*5=662872+
Б) K=5*L; L=162.83; K=814.17; TC=8141.5+
Решение через опцию «Поиск решения» будет выглядеть следующим образом+
Задаем ограничения – производственная функция должна быть равна 2600
Находим решение с помощью опции «Поиск решения»
Получаем итоговый результат:
Дополнительные источники информации:+
Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика: Пер. с англ. – 2-е изд. – М.: Дело, 2001. – 808с. Глава 6 — Производство+
Вериан Хэлл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход.: Учебник для ВУЗов/ пер. с англ. под ред. Н.Л. Фроловой. — М.: ЮНИТИ, 1997 – Глава 17 – Технология: http://freakonomics.ru/text/Glava17+
Вериан Хэлл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход.: Учебник для ВУЗов/ пер. с англ. под ред. Н.Л. Фроловой. — М.: ЮНИТИ, 1997 – Глава 18 – Максимизация прибыли: http://freakonomics.ru/text/Glava18+
Вериан Хэлл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход.: Учебник для ВУЗов/ пер. с англ. под ред. Н.Л. Фроловой. — М.: ЮНИТИ, 1997 – Глава 19 – Минимизация издержек: http://freakonomics.ru/text/Glava19+
Nicholson Walter. Microeconomic theory. Basic principles and extensions. – Thomson, Inc. 2005.Chapter 7 – Production Functions+
+
Условные обозначения:+
TC — совокупные издержки (total cost)+
K — объем капитала (capital)+
L — количество труда, нанятого фирмой (labor)+
MPL — предельный продукт труда (marginal product of labor)+
MPK — предельный продукт капитала (marginal product of сapital)+
MRPL — предельный денежный продукт труда (marginal revenue product of labor)+
w — цена труда (wage)+
v — цена капитала+
МRTS — предельная норма технического замещения факторов производства (marginal rate of technical substitution)+
Алгоритм определения функции издержек при заданной производственной функции+
Задача #1+
Предположим, что производственная функция задана как Q(L, K, Z)=Lα*Kβ*Zγ+
А) Чему равен предельный продукт фактора L?+
Б) Чему равна норма технического замещения факторов?+
В) Чему равна отдача от масштаба, если α+β+γ>0?+
Решение #1+
А) MPL=(α*Kβ*Zγ)/L1-α+
Б) Для нахождения нормы предельного технического замещения нужно найти значения предельного продукта каждого фактора и потом рассматривать отношения предельных продуктов каждого фактора+
В) Если α+β+γ>1, то возрастающая отдача от масштаба; если α+β+γ<1, то убывающая отдача от масштаба; если α+β+γ=1, то постоянная отдача от масштаба;+
Задача #2+
Производственная функция задана как Q(L, K)=(Lα+Kα)β, где α и β положительные константы. При каких значения констант производственная функция будет характеризоваться возрастающей отдачей от масштаба, при каких убывающей, а при каких постоянной?+
Решение #2+
Условие возрастающей отдачи от масштаба: ((n*L)α+(n*K)α)β>n*(Lα+Kα)β, где n>1+
Задача #3+
Характеризуются ли следующие производственные функции убывающей, постоянной или возрастающей отдачей от масштаба? Здесь q – объем производства, зависящий от величины используемого капитала K и труда L. Объясните ответ.+
А) q=0.5√(KL).+
Б) q=0.1KL+K2/3L1/3.+
В) q=2(KL)1/2+3(KL)1/3.+
Г) q=aK+bL.+
Ответ #3+
А) Постоянная отдача от масштаба;+
Б) Возрастающая отдача от масштаба;+
В) Убывающая отдача от масштаба;+
Г) Постоянная отдача от масштаба.+
Задача #4+
Производственная функция фирмы имеет вид Q=L0.25K0.75.+
А) Как будет выглядеть функция совокупных издержек (TC) в краткосрочном периоде, если w – цена единицы труда и v – цена единицы капитала, и объем капитала фиксирован?+
Б) Как будет выглядеть функция совокупных издержек (ТС) в долгосрочном периоде времени, когда все факторы переменны?+
В) Объясните соотношения между долгосрочными и краткосрочными кривыми средних издержек и предельных издержек.+
Решение #4+
А) TC=((w*Q4)/K3)+v*K;+
Б) K=3*L; TC=w*L+v*K=Q*((w/30.75)+v*30.25)+
В) Кривая краткосрочных издержек всегда выше кривой долгосрочных издержек+
Задача #5+
А) Производственная функция задана как Q=L2/3+K2/3. Заработная плата (w) равна 25, цена капитала (v) равна 5. Определите комбинацию труда-капитала, позволяющую минимизировать издержки для производства 2600 единиц продукции.+
А) Чему будут равны совокупные издержки?+
Б) Каким будет решение задачи, если производственная функция задана как Q=L2/3*K2/3+
Решение #5+
А) Нужно использовать только капитал, как цена капитала дешевле, а труд и капитал в этом случае являются абсолютными субститутами K=2600(3/2)=132574.5; совокупные издержки составят TC=K*5=662872+
Б) K=5*L; L=162.83; K=814.17; TC=8141.5+
Решение через опцию «Поиск решения» будет выглядеть следующим образом+
Дополнительные источники информации:+
Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика: Пер. с англ. – 2-е изд. – М.: Дело, 2001. – 808с. Глава 6 — Производство+
Вериан Хэлл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход.: Учебник для ВУЗов/ пер. с англ. под ред. Н.Л. Фроловой. — М.: ЮНИТИ, 1997 – Глава 17 – Технология: http://freakonomics.ru/text/Glava17+
Вериан Хэлл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход.: Учебник для ВУЗов/ пер. с англ. под ред. Н.Л. Фроловой. — М.: ЮНИТИ, 1997 – Глава 18 – Максимизация прибыли: http://freakonomics.ru/text/Glava18+
Вериан Хэлл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход.: Учебник для ВУЗов/ пер. с англ. под ред. Н.Л. Фроловой. — М.: ЮНИТИ, 1997 – Глава 19 – Минимизация издержек: http://freakonomics.ru/text/Glava19+
Nicholson Walter. Microeconomic theory. Basic principles and extensions. – Thomson, Inc. 2005.Chapter 7 – Production Functions+
-
Add a note